Struktur aljabar 1 adalah judul dari postingan kali ini. Sebelum saya berbagi modul struktur aljabar 1 alangkah baiknya saya mengucapkan salam sapa untuk sahabat sharematika semua, berjumpa lagi dengan sharematika, blog yang membahas semua materi matematika sd, materi matematika smp, materi matematika sma, dan materi matematika perguruan tinggi. Pada pertemuan kali ini saya akan berbagi modul struktur aljabar 1 untuk atau sebagai bahan belajar untuk mempelajari struktur aljabar 1. Langsung download saja modul struktur alajabar 1 dibawah ini :
download modul struktur aljabar 1, klik disini.
Sekilah isi modul struktur aljabar 1.
Struktur aljabar 1.
Himpunan
Himpunan adalah suatu kumpulan obyek yang dapat didefinisikan dengan jelas.
Obyek-obyek dalam himpunan tersebut dinamakan anggota himpunan.
Contoh I.1 :
1. Himpunan bilangan 2, 4, 6 dan 8.
2. Himpunan : pena, pensil, buku, penghapus, penggaris.
3. Himpunan : Negara-negara Uni Eropa.
Himpunan adalah suatu kumpulan obyek yang dapat didefinisikan dengan jelas.
Obyek-obyek dalam himpunan tersebut dinamakan anggota himpunan.
Contoh I.1 :
1. Himpunan bilangan 2, 4, 6 dan 8.
2. Himpunan : pena, pensil, buku, penghapus, penggaris.
3. Himpunan : Negara-negara Uni Eropa.
Operasi biner
Dalam aljabar tidak hanya dibahas tentang himpunan tetapi juga himpunan
bersama dengan operasi penjumlahan dan pergandaan yang didefinisikan pada himpunan.
Definisi I.1
Misalkan A himpunan tidak kosong.
Operasi biner * pada A adalah pemetaan dari setiap pasangan berurutan x, y dalam A
dengan tepat satu anggota x * y dalam A.
Dalam aljabar tidak hanya dibahas tentang himpunan tetapi juga himpunan
bersama dengan operasi penjumlahan dan pergandaan yang didefinisikan pada himpunan.
Definisi I.1
Misalkan A himpunan tidak kosong.
Operasi biner * pada A adalah pemetaan dari setiap pasangan berurutan x, y dalam A
dengan tepat satu anggota x * y dalam A.
Hukum-hukum Aljabar
Suatu system aljabar terdiri dari himpunan obyek dengan satu atau lebih operasi
yang didefinisikan padanya.Bersama dengan hkum-hukum yang dibutuhkan dalam
operasi.
Suatu system aljabar terdiri dari himpunan obyek dengan satu atau lebih operasi
yang didefinisikan padanya.Bersama dengan hkum-hukum yang dibutuhkan dalam
operasi.
Bukti dengan induksi matematika
Dalam pembuktian biasanya diinginkan untuk membuktikan suatu pernyataan
tentang bilangan bulat positif n. berikut ini diberikan dua prinsip tentang induksi
berhingga.
Dalam pembuktian biasanya diinginkan untuk membuktikan suatu pernyataan
tentang bilangan bulat positif n. berikut ini diberikan dua prinsip tentang induksi
berhingga.
Relasi ekuivalensi dan penyekatan
Obyek matematika dapat direlasikan dengan yang lain dalam berbagai cara seperti:
m membagi n
x dibawa ke y dengan fungsi f
dan sebagainya. Secara intuitif relasi R dari suatu himpunan X ke himpunan Y adalah
aturan yang memasangkan anggota X dengan anggota Y.
Obyek matematika dapat direlasikan dengan yang lain dalam berbagai cara seperti:
m membagi n
x dibawa ke y dengan fungsi f
dan sebagainya. Secara intuitif relasi R dari suatu himpunan X ke himpunan Y adalah
aturan yang memasangkan anggota X dengan anggota Y.
Grup
Suatu cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar dinamakan aljabar
abstrak (abstract algebra). Sistem aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu himpunan
obyek, satu atau lebih operasi pada himpunan bersama dengan hukum tertentu yang
dipenuhi oleh operasi. Salah satu alasan yang paling penting untuk mempelajari system
tersebut adalah untuk menyatukan sifat-sifat pada topik-topik yang berbeda dalam
matematika.
Suatu cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar dinamakan aljabar
abstrak (abstract algebra). Sistem aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu himpunan
obyek, satu atau lebih operasi pada himpunan bersama dengan hukum tertentu yang
dipenuhi oleh operasi. Salah satu alasan yang paling penting untuk mempelajari system
tersebut adalah untuk menyatukan sifat-sifat pada topik-topik yang berbeda dalam
matematika.
Sifat-sifat sederhana dalam grup
Dalam pembahasan terdahulu telah dicacat bahwa sebagai akibat definisi grup,
sebarang persamaan a * x = mempunyai penyelesaian dalam suatu group yaitu x = a’ * b.
Sifat sifat sederhana yang lain dinyatakan dalam teorema berikut ini.
Dalam pembahasan terdahulu telah dicacat bahwa sebagai akibat definisi grup,
sebarang persamaan a * x = mempunyai penyelesaian dalam suatu group yaitu x = a’ * b.
Sifat sifat sederhana yang lain dinyatakan dalam teorema berikut ini.
Grup Bagian
Sistem aljabar yang besar biasanya mengandung sistem bagian yang lebih kecil.
Sistem yang lebih kecil mungkin lebih penting dan mungkin membangun system yang
lebih besar. Sebagai contoh group < R, + > mengandung group yang lebih kecil seperti
< Q , + > dan < Z , + >. Dengan cara yang sama C* = C – { 0 } mengandung
R* =R – { 0}.
Contoh-contoh diatas menyarankan bahwa disamping tipe tertentu dari sistem juga
dipelajari sistem bagian ( subsystem ) sehingga dalam penelaahan grup juga dibahas
tentang sistem bagiannya yang dinamakan grup bagian.
Sistem aljabar yang besar biasanya mengandung sistem bagian yang lebih kecil.
Sistem yang lebih kecil mungkin lebih penting dan mungkin membangun system yang
lebih besar. Sebagai contoh group < R, + > mengandung group yang lebih kecil seperti
< Q , + > dan < Z , + >. Dengan cara yang sama C* = C – { 0 } mengandung
R* =R – { 0}.
Contoh-contoh diatas menyarankan bahwa disamping tipe tertentu dari sistem juga
dipelajari sistem bagian ( subsystem ) sehingga dalam penelaahan grup juga dibahas
tentang sistem bagiannya yang dinamakan grup bagian.
Grup Siklik
Sebelum dibahas tentang grup siklik terlebih dahulu didefinisikan pangkat bilangan
bulat dalam suatu grup penggandaan .
Sebelum dibahas tentang grup siklik terlebih dahulu didefinisikan pangkat bilangan
bulat dalam suatu grup penggandaan .
Grup Zn*
Pergandaan dapat didefinisikan pada himpunan Zn = {0, 1, 2,… n-1} dari bilangan
bulat modulo n. Jika a, b dalam Zn maka pergandaan dari a b ( mod n ) adalah :
1. Gandakan bilangan bulat a dan b .
2. Ambil sisa pembagian dari ab dengan n yaitu r . berarti a b = r.
Mudah dibuktikan bahwa untuk n > 1, Zn Mengandung identitas pergandaan 1. Tetapi
dalam Zn, invers terhadap pergandaan tidak selalu ada sehingga Zn bukanlah grup
terhadap operasi pergandaan. Untuk n 2 didefinisikan
Zn* = { x dalam Zn | x mempunyai invers pergandaan dalam Zn }
Pergandaan dapat didefinisikan pada himpunan Zn = {0, 1, 2,… n-1} dari bilangan
bulat modulo n. Jika a, b dalam Zn maka pergandaan dari a b ( mod n ) adalah :
1. Gandakan bilangan bulat a dan b .
2. Ambil sisa pembagian dari ab dengan n yaitu r . berarti a b = r.
Mudah dibuktikan bahwa untuk n > 1, Zn Mengandung identitas pergandaan 1. Tetapi
dalam Zn, invers terhadap pergandaan tidak selalu ada sehingga Zn bukanlah grup
terhadap operasi pergandaan. Untuk n 2 didefinisikan
Zn* = { x dalam Zn | x mempunyai invers pergandaan dalam Zn }
Teorema Lagrange
Bila suatu grup G diperkenalkan maka dengan sendirinya diteliti apakah grup itu
abelian dan apakah grup siklik. Di samping itu juga ditentukan orde dari grup G dan orde
dari anggota-anggotanya. Meskipun dapat dibuktikan bahwa semua grup bagian dari grup
siklik merupakan grup siklik dan semua grup bagian dari grup abelian merupakan grup
abelian, tetapi masih menyisakan pertanyaan-pertanyaan yang belum terjawab :
1. Bagaimana orde dari suatu grup bagian S dibandingkan dengan orde dari grup
yang mengandung S?
2. Bagaimana orde dari suatu anggota grup G dibandingkan orde dari G ?
Teorema terbukti ini sangat penting dalam teori grup dan sekaligus menjawab kedua
pertanyaan tersebut.
Bila suatu grup G diperkenalkan maka dengan sendirinya diteliti apakah grup itu
abelian dan apakah grup siklik. Di samping itu juga ditentukan orde dari grup G dan orde
dari anggota-anggotanya. Meskipun dapat dibuktikan bahwa semua grup bagian dari grup
siklik merupakan grup siklik dan semua grup bagian dari grup abelian merupakan grup
abelian, tetapi masih menyisakan pertanyaan-pertanyaan yang belum terjawab :
1. Bagaimana orde dari suatu grup bagian S dibandingkan dengan orde dari grup
yang mengandung S?
2. Bagaimana orde dari suatu anggota grup G dibandingkan orde dari G ?
Teorema terbukti ini sangat penting dalam teori grup dan sekaligus menjawab kedua
pertanyaan tersebut.
Homomorfisma Grup
Dalam mempelajari sistem, perlu juga mempelajari tentang suatu fungsi yang
mengawetkan operasi aljabar. Sebagai contoh, dalam aljabar linier dipelajari tentang alih
ragam linier ( linier transformation ). Fungsi ini T : V W mengawetkan penjumlahan
dan pergandaan skalar. Dalam teori grup digunakan definisi berikut ini.
Dalam mempelajari sistem, perlu juga mempelajari tentang suatu fungsi yang
mengawetkan operasi aljabar. Sebagai contoh, dalam aljabar linier dipelajari tentang alih
ragam linier ( linier transformation ). Fungsi ini T : V W mengawetkan penjumlahan
dan pergandaan skalar. Dalam teori grup digunakan definisi berikut ini.
Grup Normal
Inti dari sebarang homomorfisma grup mempunyai sifat tambahan yaitu
mengandung semua konjugat (conjugates) dari anggotanya.
Inti dari sebarang homomorfisma grup mempunyai sifat tambahan yaitu
mengandung semua konjugat (conjugates) dari anggotanya.
Grup Faktor
Koset aS dapat digunakan untuk membentuk sistem aljabar yang baru. Misalkan S
grup bagian dari grup G. Dapat dibentuk himpunan semua koset kiri dari S yaitu
{ aS | a dalam G }
Anggota G yang berbeda dapat saja membentuk koset yang sama. Untuk itu diperlukan
cara untuk menguji kesamaan dari dua koset.
Koset aS dapat digunakan untuk membentuk sistem aljabar yang baru. Misalkan S
grup bagian dari grup G. Dapat dibentuk himpunan semua koset kiri dari S yaitu
{ aS | a dalam G }
Anggota G yang berbeda dapat saja membentuk koset yang sama. Untuk itu diperlukan
cara untuk menguji kesamaan dari dua koset.
Hasil Kali Langsung
Dalam teori grup, terdapat cara untuk membangun grup yang lebih besar dari
hasil kali langsung (direct product) grup-grup yang lebih kecil dan disamping itu sering
juga diharapkan dapat memfaktorkan grup yang besar sebagai perkalian grup-grup yang
kecil dan sederhana.
Dalam teori grup, terdapat cara untuk membangun grup yang lebih besar dari
hasil kali langsung (direct product) grup-grup yang lebih kecil dan disamping itu sering
juga diharapkan dapat memfaktorkan grup yang besar sebagai perkalian grup-grup yang
kecil dan sederhana.
Itulah sedikit isi modul struktur aljabar yang kalian download tadi.
Semoga bermanfaat, dan jangan lupa kunjungi terus sharematika, blog yang membahas semua materi matematika sd, materi matematika smp, materi matematika sma, dan materi matematika perguruan tinggi.